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Montrons enfin que Ñ´ß ¼ ½ µ ½ . ½ ·½ ¾Ò ½ Ò ½ ½ ß¼½ Ò où ´ Ò µ On a donc : Ñ´ß ¼ ½ est l’union disjointe de sous-ensembles constituant ·½ µ Ò ½ ¾Ò ½ ¿Ò ½ µ Ñ´ µ ¼ Ò . 6. CORRIGÉS DES EXERCICES E4 La suite 1I Ò 45 ½ Ò 1IËÒ est croissante, donc . Grâce au ½ ½ théorème de Beppo-Levi, la limite du membre de gauche, lorsque Ò croît vers l’infini, est égale Ò à: ÐÑ 1I . Ò ·½ ½ E5 (a) Par l’absurde. Supposons que Á Ü Ü · ß Á si la dernière intégrale est infinie, alors ܾ (b) Posons Ü n’est pas négligeable.

Par ailleurs, Ë ´Ôµ Ë ´Ôµ ´Ôµ ¼ ½ Á ´Ôµ , ce qui conduit à l’expression Ô Ä Ô¾ · Ê Ô · ½ Chapitre 2 Espaces vectoriels normés L’analyse fonctionnelle naquit de l’intérêt des mathématiciens de la fin du ½ ième siècle pour l’étude systématique des opérateurs fonctionnels. C’est dans le cadre du calcul des variations qu’apparurent les premiers opérateurs fonctionnels de la forme : ¨ ¾ ½ ´ µ ¨´ µ Á Ä´Ø Ø ´ µ Ø ´ µµ Ø Le problème étant de déterminer la fonction qui minimise la fonctionnelle ¨´ µ, laquelle modélise l’action dans le cadre de la mécanique lagrangienne.

Le concept de transformation intégrale étend aux espaces fonctionnels la notion d’application linéaire définie sur les espaces vectoriels de dimension ÈÒ finie : l’analogie entre (£) et Ò l’application linéaire Ü ¾ Ê Ò Ü ¾ Ê , où ´ ܵ Ü est évidente, maintenant ½ È Ê et désignent une opération de même nature pour des mesures respectiveque l’on sait que ment discrète et continue. (Cf : (A) après E15) On exigera qu’une transformation intégrale Ì possède les propriétés suivantes : – continuité ; – existence d’une transformation inverse de Ì .

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