By Antoine Ducros
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1 ; on dit que k est la longueur de σ. Un cycle de longueur 2 est souvent appel´e une transposition. 5) Nous allons maintenant nous int´eresser plus sp´ecifiquement aux groupes Sn . 1) Pour d´ecrire une permutation de Sn , on peut avoir recours a` deux types de notations : • La notation par tableau de valeurs. 3. Ainsi, la permutation pr´esent´ee ci-dessus par tableau pourra aussi ˆetre not´ee (134). 2) D´ecrivons le groupe Sn pour de petites valeurs de n. • Le groupe S0 est le groupe des bijections de ∅ sur lui-mˆeme ; il est r´eduit a Id∅ .
La loi de groupe de G peut maintenant se d´ecrire facilement. Prenons deux ´el´ements h1 et h2 de H, et deux ´el´ements f1 et f2 de F . De l’´egalit´e f1 h2 = ϕ(f1 )(h2 )f1 il vient : (∗) h1 f1 h2 f2 = (h1 ϕ(f1 )(h2 ))(f1 f2 ). ∈H ∈F On dit que G est le produit semi-direct interne de H et F , et que F op`ere sur H via ϕ. Il est imm´ediat, au vu des ´egalit´es ci-dessus, que ϕ est trivial si et seulement si l’on a h1 f1 h2 f2 = h1 h2 f1 f2 pour tout (h1 , h2 , f1 , f2 ) ∈ H 2 × F 2 ; si c’est le cas, on dit que G est le produit direct interne de H et F .
Nous nous proposons de d´ecrire tous les produits semi-directs de la forme Z/nZ ϕ Z/mZ. Pour tout a ∈ Z/nZ on notera ha l’endomorphisme x → ax de Z/nZ. 6) que a → ha induit un isomorphisme de groupes de (Z/nZ)× sur Aut Z/nZ. 3 que se donner un morphisme de groupes ϕ de Z/mZ dans Aut Z/nZ revient `a se donner un ´el´ement u de m-torsion de Aut Z/nZ, le lien entre les deux ´etant le suivant : on a u = ϕ(1) ; on a ϕ(r) = ur pour tout r ∈ Z. En combinant les deux remarques qui pr´ec`edent, on voit que se donner un morphisme de groupes ϕ de Z/mZ dans Aut Z/nZ revient `a se donner un ´el´ement a de m-torsion de (Z/nZ)× , le lien entre les deux ´etant le suivant : on a a = ϕ( 1 )( 1 ) ; on a ϕ( r )(x) = ar x pour tout r ∈ Z et tout mod m mod n mod m x ∈ Z/nZ.
Groupes finis et leurs représentations by Antoine Ducros
by William
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