By Martin Möller
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Halbzeit liegt der Ball auf dem Anstoßpunkt des Berliner Stadions. Zeigen Sie, dass zu diesen zwei Zeitpunkten mindestens 2 Punkte an der Oberfläche des Balles auf dem gleichen Punkt liegen. Die Bewegungen des Balles während der ersten Halbzeit sind eine affine Abbildung F , dessen zugehörige lineare Abbildung eine Isometrie ist. Außerdem wird der Mittelpunkt M un die Orientierung des Balles unter F festgelassen. Ist {b1 , b2 , b3 } eine ONB des R3 , so wird F bzgl. dem kartesischen Koordinatensystem (M, {b1 , b2 , b3 }) beschrieben als F : x −→ x′ = A · x, wobei A die Abbildungsmatrix einer Isometrie mit det(A) = +1 ist.
Umgekehrt gibt es zu (λ1 , . . , λn ) ∈ Rn genau einen Punkt P ∈ En mit diesen vorgegebenen Koordinaten, nämlich den n −→ λi ei . h. Punkt P mit OP = i=1 der Eigenschaft, dass die ei orthonormiert sind) besteht darin, dass sich Abstände leicht ausrechnen lassen. Sind P = (λ1 , . . , λn ) und Q = (µ1 , . . , µn ), so ist −→ d(P, Q) = P Q = n n i=1 (µi − λi )ei = i=1 (µi − λi )2 . Die naheliegendste Abstandsfolge ist die zweier affiner Unterräume B, B′ in A. Dabei wollen wir als Abstand das Infimum der Abstände von Punkten in B bzw.
Damit können wir die Eigenschaften auflisten, die unter einer affinen Abbildung invariant sind. 20 Sei F : An → Bp affin. 18 ist. ii) Sind D1 , D2 ⊆ An parallele affine Unterräume, so sind auch F (D1 ) und F (D2 ) parallel. h. für drei kollineare Punkte X, P, Q ∈ An mit Q = X gilt: τ (X, P, Q) = τ F (X), F (P ), F (Q) , falls F (Q) = F (X). −−−−−−−→ −−→ −−→ Beweis : Sei D = {X ∈ An : P X ∈ U }. 18 ist F (P )F (X) = f (P X). Also ist −−−−−−−→ F (D) = {F (X) ∈ Bp : F (P )F (X) ∈ f (U )} und somit ein affiner Unterraum.
Geometrie by Martin Möller
by Daniel
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