By André Avez
ISBN-10: 2225790795
ISBN-13: 9782225790799
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La formule (2 . (h; 1 l, h�2 l) r,s = I D,�f(a) . ( Wl, h; l J) . (h; 1 l, h�2 l) = D,�f(a) . (Wl, h; 1 )) . l'(E,, E, ; F). En particulier D,�f(a) est une application bilinéaire symétrique. Par contre il faut se garder de croire que D,�f(a) = D,�f(a) : ce ne sont même pas des éléments du même espace si s 1= r. Si maintenant f est de classe C\ k/ � 2, la formule (2 . (h
X + y) n. (x + y, z) ll /11 z Il " + 2" . (x, Y + z) ll /11 y + z I l ". Puisque a. est continue, le premier terme du membre de droite tend vers zéro si y -> O. Puisque (x + y, z) -> (x, 0) si y -> 0, l'hypothèse b montre que le second terme tend vers zéro si y -> O. Il en est de même pour le troisième. Il résulte alors de (3 . 1 1) que, si y -> 0, Il 9 o ( Y) + g 1 (y). z + . l l . : + + 9. - J(y). (z)" - 1 = o( ll Y Il") . · . . 45 SÉRIE DE TAYLOR. ANALYTICITÉ Change bns z en z/2 dans cette relation, puis multiplions les deux membres par 2 et retran chons membre à membre la relation obtenue de la relation initiale ; multiplions enfin par 2 1,s deux membres.
Chap. 1) on obtient la généralisation suivante de ( 1 . 3) : Calcul de D " f(a). 1 . 10. (hto ... ) ( 1 . 1 1) = ( d d f a ... + d ln d { 1 Ï i=l t;. h; )1 l t = . . = tn = O , où h 1 , , h. E E. Cette formule ramène le calcul de D" f(a) à celui des dérivées successives d'une fonction de n variables réelles t 1 , , t. et à valeurs dans F. Le nombre de droite de ( 1 . I l) généralise la notion de dérivée de f dans la direction d'un vecteur h de E. ) E E" ce nombre de droite [on l'appelle quelquefois la dérivée de Gâteaux d'ordre n de f au point a].
Calcul différentiel by André Avez
by Edward
4.5